পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নিয়ে :
আমাদের আজকের মূল সমস্যা পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নিয়ে। তবে তার আগে আসুন গণিতের দুটি মজার প্রশ্ন সমাধানের কৌশল জেনে নিই। এটা অনেকটা যুক্তির ভিত্তিতে গণিতের হিসাব কাজে লাগানোর বিষয়। যদি আমরা বলি (৫৫ × ৫৫) = ১০০, (৬৬ × ৬৬) = ১৪৪, (৭৭ × ৭৭) = ১৯৬, (৮৮ × ৮৮) = ২৫৬ হয়, তাহলে (৯৯ × ৯৯) = ?
প্রথমেই বলে রাখি, এটা একটি কল্পিত সমস্যা। আসলে (৫৫ × ৫৫) = ৩০২৫, ১০০ তো কখনো হতে পারে না। কিন্তু একটি ছন্দের আকারে সাজানোর জন্য এভাবে লেখা হয়েছে। সে জন্যই প্রথমে বলে নিয়েছি, ‘যদি…হয়’।
এখন বলতে হবে, যদি প্রথম সমীকরণগুলো শুদ্ধ বলে ধরে নেওয়া হয়, তাহলে শেষ গুণফলটি কত হবে? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে প্রদত্ত সিরিজের কয়েকটি রাশি দেখে এর ভেতরের মিলগুলো বের করি। প্রতিটি রাশির মধ্যে একটি মিল রয়েছে। দেখা যাচ্ছে, প্রতিটি রাশির প্রথম সংখ্যাগুলো দুই অঙ্কের এবং একই অঙ্ক দুবার করে লেখা। এই দুটি অঙ্কের যোগফলের বর্গ সংখ্যাটিকেই পুরো সংখ্যাটির বর্গফল হিসেবে দেখানো হয়েছে। যেমন: (৫৫ × ৫৫) = (৫ + ৫)২ = (১০)২ = ১০০। এখন আমরা মূল সমস্যার উত্তর বের করতে পারি। (৯৯ × ৯৯) = (৯ + ৯)২ = (১৮)২ = ৩২৪।
আরেকটি মজার হিসাব দেখুন। (১১/৫) + (১২/৫) + (১৩/৫) + (১৪/৫) + (১৫/৫) =? এই ধারাটির যোগফল সহজে বের করার উপায় কী? এর উত্তরের জন্য আমরা প্রথমে দেখব, ১১ থেকে ১৫ পর্যন্ত ধারাবাহিক পাঁচটি সংখ্যার প্রতিটি ৫ দিয়ে ভাগ করে যোগ করা হয়েছে। সুতরাং এই সিরিজটিকে আমরা লিখতে পারি (১১ + ১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫)/৫ = {(১১ +১৫) × ৫/২} / ৫ = {(২৬ × ৫) /২}/৫ = (১৩০/২)/৫ = (৬৫/৫) = ১৩।
একটি সাধারণ সমাধান : একটি টেবিলের চারপাশে চারজন করে বসতে পারেন। ৩০ জন বন্ধুর বসার জন্য একটি টেবিলের সঙ্গে আরেকটি টেবিল পরপর সাজিয়ে লম্বা একটি টেবিলে বসার আয়োজন করা হলো। এখন বলুন তো মোট কতটি টেবিল লাগবে?
উত্তর : ১৪টি টেবিল লাগবে। অবশ্য যদি আপনি নিজেকে ৩০ জন বন্ধুর বাইরে আরও একজন হিসাবে বিবেচনা করেন, তাহলে ১৫টি টেবিল লাগবে।
অনেক উত্সাহী পাঠক উত্তর দিয়েছেন। অনেক উত্তর এসেছে আমার ই-মেইল ঠিকানায়। তাঁদের প্রায় সবার উত্তরই সঠিক। সবাইকে ধন্যবাদ।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
প্রথমে হিসাব করলাম, দুপাশের দুই কিনারের টেবিলে তিনজন করে মোট ছয়জন বসবে। বাকি থাকল (৩০ – ৬) = ২৪ জন। মাঝখানের টেবিলগুলোর প্রতিটির এপাশ-ওপাশে দুজন করে বসতে পারে। তাই বাকি ২৪ জনের জন্য দরকার ১২টি টেবিল। সুতরাং মোট টেবিলের সংখ্যা (২ + ১২) = ১৪। এই উত্তরটা বের করার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করে যেকোনোসংখ্যক বন্ধুর জন্য টেবিলের সংখ্যা বের করতে পারি। (মোট টেবিলের সংখ্যা – ২) = (বন্ধুর সংখ্যা – ৬) / ২। অথবা, (বন্ধুর সংখ্যা – ৬) / ২ হিসাব থেকে প্রাপ্ত সংখ্যার সঙ্গে ২ যোগ করলেই টেবিলের সংখ্যা পাওয়া যাবে। আমাদের সমস্যার ক্ষেত্রে, টেবিলের সংখ্যা = {(৩০ – ৬)/২} + ২ = (১২ + ২) = ১৪।
cheap atorvastatin 40mg lipitor 20mg us atorvastatin price
brand atorvastatin 40mg lipitor 10mg us atorvastatin 80mg tablet
cost cipro – buy augmentin 1000mg generic purchase amoxiclav
ciprofloxacin order – order augmentin 375mg without prescription augmentin buy online
cipro online buy – septra pills order generic augmentin 1000mg
buy generic ciprofloxacin 1000mg – purchase ciprofloxacin sale augmentin without prescription
glycomet 1000mg for sale – where to buy lincocin without a prescription buy generic lincocin
buy generic metformin – combivir canada buy cheap lincomycin
buy retrovir – where can i buy epivir allopurinol without prescription
zidovudine brand – buy generic allopurinol for sale zyloprim 100mg ca
buy clozaril 50mg pill – pepcid 40mg ca famotidine usa
clozapine ca – buy accupril online famotidine 40mg canada
seroquel generic – eskalith tablet eskalith brand
quetiapine 100mg ca – trazodone over the counter buy eskalith pills for sale
purchase anafranil generic – order clomipramine 25mg order sinequan 75mg for sale
buy clomipramine for sale – duloxetine 20mg generic purchase doxepin online cheap
hydroxyzine canada – brand lexapro 10mg amitriptyline usa
hydroxyzine cost – endep oral order endep 25mg sale
buy amoxil pills for sale – erythromycin sale buy ciprofloxacin
augmentin price – zyvox 600mg tablet order cipro generic
cost augmentin 375mg – augmentin 625mg canada ciprofloxacin 500mg pill
cleocin 300mg pill – terramycin generic cheap chloromycetin
where to buy clindamycin without a prescription – chloramphenicol pills order chloramphenicol sale
order zithromax 500mg generic – order tinidazole 300mg for sale ciplox 500mg us
azithromycin uk – sumycin 500mg brand ciplox cheap